k均值(k-means)是聚类算法的一种，聚类分析是根据在数据中发现的描述对象及其关系的信息，将数据对象分组。其目标是，组内的对象相互之间是相似的，而不同组中的对象是不同的。组内的相似性越大，组间差别越大，聚类就越好。
举个例子，在二维平面上有几百个点，在笛卡儿坐标系中有(x,y)坐标，把它们点到纸上，问题是如何把它们分成不同组，每个组里点彼此之前都比较相近，而离其它组的成员又比较远。下面介绍的k均值就能干这种事。
基本k均值
基本k均值思想很简单，首先，选择k个初始质心，其中k是用户指定的参数，即所期望的簇的个数。每个点被指派到最近的质心，而指派到一个质心的点集为一个簇。然后根据指派到簇的点，更新每个簇的质心。重复指派和更新步骤，直到簇不发生变化，或等价的，直到质心不发生变化。
伪代码：
选择k个点作为初始质心。
repeat
将每个点指派到最近的质心，形成k个簇
重新计算每个簇的质心
util 质心不发生变化
1：指派点到最近的质心。为了将点指派到最近的质心，我们需要邻近性度量来量化所考虑的数据的“最近”的概念。判断两项的相似度，在上篇文章里已经提到过，可以选择一个合适的算法。通常，对欧式空间里的点适用欧几里德距离，对文档用余弦相似性
2：质心和目标函数。因为在计算k均值的过程中要迭代计算每个簇的质心，我们用均值来当作一个簇的质心，例如第一个簇有点(1,2) (1,1),(2,1)，那么我们就用 ( (1 + 1 + 2) / 3， (2 + 1 + 1) /3 )作为质心（相当于各维数据相加，然后除以这组的点数）。而目标函数是我们用来计算产生n个组的算法效果：当我们产生n个组后，计算每个组的所有点的中心点（各维数据相加，然后除以这组的点数），我们称这个点为质心，然后计算每个组中每个点到这个质心的距离，把这个距离相加得到一个组内的距离之和Sum_1，再把每个组这种距离之后相加，即Sum_1 + Sum_2 + … Sum_n，得到这个总距离和就可以判定这次分组质量的好坏，显然，这个值越小越好。
列下k均值常用的邻近度，质心和目标函数的选择：
- 邻近度函数：曼哈顿距离。质心：中位数。目标函数：最小化对象到其簇质心的距离和
- 邻近度函数：平方欧几里德距离。质心：均值。目标函数：最小化对象到其簇质心的距离的平方和
- 邻近度函数：余弦。质心：均值。最大化对象与其质心的余弦相似度和
- 邻近度函数：Bregman 散度。质心：均值。目标函数：最小化对象到其簇质心的Bregman散度和
选择适当的初始质心是基本k均值的关键步骤。常见的方法是随机地选取初始质心，但是簇地质量会比较差。一个方法是多次运行，每次适用一组不同的随机初始质心，然后选取具有最小目标函数和的簇集。但是这样也只是取得多次运行中较好的，仍然非常依赖开始时质心的位置。
在我的测试数据中，随机产生了100个点，其中每10点给它们一个范围，例如第一组点的横坐标和纵坐标都在10～20之间随机，第二组点的都在40～50之间随机，这样就人为产生了10个簇点。然后适用基本k均值算法，指定k＝10，得到的10个簇。如此运行50次。我们期望的结果是分成10个簇后，每个簇有10个点，和我们想的数据相符。但是即使运行50次，得到的也是非常不均匀的，有的簇点有20～30个，有的簇的点只有2，3个，甚至产生了空簇，这说明本来应该在这个簇的点被划到了其它簇。可见对于初始点的指定还是很重要的。
而k均值的变种－－－二分k均值则对初始化问题不大敏感。
二分k均值
基本思想是：为了得到k个簇，将所有点的集合分裂成两个簇，从这些簇中选取一个继续分裂，如此下去，直到产生k个簇。
伪代码：
初始化簇表，使之包含由所有的点组成的簇。
repeat
从簇表中取出一个簇。
{对选定的簇进行多次二分试验}
for i=1 to 试验次数 do
使用基本k均值，二分选定的簇。
endfor
从二分试验中选择具有最小误差的两个簇。
将这两个簇添加到簇表中。
until 簇表中包含k个簇
比如要分成5个组，第一次分裂产生2个组，然后从这2个组中选一个目标函数产生的误差比较大的，分裂这个组产生2个，这样加上开始那1个就有3个组了，然后再从这3个组里选一个分裂，产生4个组，重复此过程，产生5个组。这算是一中基本求精的思想。二分k均值不太受初始化的困扰，因为它执行了多次二分试验并选取具有最小误差的试验结果，还因为每步只有两个质心。
同样是上面的那组数据，当我使用二分k均值算法时，产生的10个簇正好每个都是10个点，就是和我们预想的簇一样，非常均匀。
优点与缺点
k均值简单并且可以用于各种数据类型，它相当有效，尽管常常多次运行。然后k均值并不适合所有的数据类型。它不能处理非球形簇，不同尺寸和不同密度的簇。对包含离群点（噪声点）的数据进行聚类时，k均值也有问题。
基本k均值和二分k均值的代码，由于比较长就不贴了，通过看上面的伪代码，理解了其思想，代码还是比较容易写出来的。
